《数学分析 全三册（第123册）伍胜健教授著 北京大学数学教学系列丛书》-图书推荐
编辑推荐
本书是数学基础课教材，内容由浅入深，涵盖面广，适合各专业学生使用。
本书注重基础知识的讲述和基本能力的训练, 按照认知规律, 以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点, 对内容讲解简明、透彻, 做到重点突出、难点分散, 便于学生理解与掌握。
本书分析透彻、重点突出、难点分散，注重从几何直观和物理背景引入基本概念，注重对基本概念、基本定理及数学思想方法的理解和掌握，强调运用数学知识解决实际问题。此外，本书在引入问题、分析问题及解决问题方面有其独到之处，使得许多复杂问题变得简单明了。
内容简介
《数学分析（第一册）》是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材。全书共分三册，第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数；第三册共五章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量的积分，该书每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考。
作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果，该书注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握。
《数学分析（第一册）》可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师该书也是一部很好的教学参考书，为了帮助读者学习，该书配有学习辅导书《数学分析解题指南》（材源渠、方企勤编，书号：ISBN978-7-301-06550-1；定价24.00元）供读者参考。
《数学分析(第二册)》是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材，全书共分三册，第一册共六章，内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分；第二册共六章，内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数；第三册共五章，内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量的积分。本书每章配有适量习题，书末附有习题答案或提示，供读者参考，作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程，按照教学大纲，精心选取教学内容并对课程体系优化整合，经过几届学生的教学实践，收到了良好的教学效果，本书注重基础知识的讲述和基本能力的训练，按照认知规律，以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切人点，对内容讲解简明、透彻，做到重点突出、难点分散，便于学生理解与掌握，本书可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材，对青年教师也是一部很好的教学参考书。
本书是综合性大学和高等师范院校数学系本科生数学分析课程的教材.全书共分三册. 第一册共六章, 内容为函数、序列的极限、函数的极限与连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分; 第二册共六章, 内容为定积分、广义积分、数项级数、函数序列与函数项级数、幂级数、傅里叶级数; 第三册共五章, 内容为n维欧氏空间与多元函数的极限和连续、多元函数微分学、重积分与广义重积分、曲线积分与曲面积分及场论、含参变量积分. 本书每章配有适量习题, 书末附有习题答案或提示, 供读者参考.
作者多年来在北京大学为本科生讲授数学分析课程, 按照教学大纲, 精心选取教学内容并对课程体系优化整合, 经过几届学生的教学实践, 收到了良好的教学效果. 本书注重基础知识的讲述和基本能力的训练, 按照认知规律, 以几何直观、物理背景作为引入数学概念的切入点, 对内容讲解简明、透彻, 做到重点突出、难点分散, 便于学生理解与掌握.
本书可作为高等院校数学院系、应用数学系本科生的教材, 对青年教师本书也是一部很好的教学参考书.
作者简介
伍胜健，北京大学数学科学学院教授、博士生导师。1992年在中国科学院数学研究所获博士学位。主要研究方向是复分析，在北京大学长期讲授数学分析、复变函数、复分析等课程。
目录
第一章 函数
§1．1 实数
1．1．1 数集
1．1．2 实数系的连续性
1．1．3 有界集与确界
1．1．4 几个常用不等式
1．1．5 常用记号
§1．2 函数的概念
1．2．1 函数的定义
1．2．2 由已知函数构造新函数的方法
§1．3 函数的性质
1．3．1 函数的有界性
1．3．2 函数的单调性
1．3．3 函数的周期性
1．3．4 函数的奇偶性
§1．4 初等函数
习题一
第二章 序列的极限
§2．1 序列极限的定义
2．1．1 序列
2．1．2 序列极限的定义
2．1．3 无穷小量
2．1．4 无穷大量
§2．2 序列极限的性质
§2．3 单调收敛原理
2．3．1 单调收敛原理
2．3．2 无理数e和欧拉常数c
§2．4 实数系连续性的基本定理
2．4．1 闭区间套定理
2．4．2 有限覆盖定理
2．4．3 聚点原理
2．4．4 柯西收敛准则
2．5 序列的上、下极限
习题二
第三章 函数的极限与连续性
§3．1 函数的极限
3．1．1 函数极限的定义
3．1．2 函数极限的性质
3．1．3 函数极限概念的推广
3．1．4 序列极限与函数极限的关系
3．1．5 极限存在性定理和两个重要极限
§3．2 函数的连续与间断
3．2．1 函数的连续与间断
3．2．2 连续函数的性质
3．2．3 初等函数的连续性
§3．3 闭区间上连续函数的基本性质
§3．4 无穷小量与无穷大量的阶
习题三
第四章 导数与微分
§4．1 导数
……
第五章 导数的应用
第六章 不定积分
部分习题答案与提示
名词索引
第七章 定积分
7.1 定积分的概念与微积分基本定理
7.1.1 曲边梯形的面积
7.1.2 定积分的定义
7.1.3 定积分的几何意义
7.1.4 连续函数的可积性
7.1.5 微积分基本定理
7.2 可积性问题
7.2.1 可积的必要条件
7.2.2 达布理论
7.2.3 可积函数类
7.3 定积分的性质
7.4 原函数的存在性与定积分的计算
7.4.1 变限定积分
7.4.2 定积分的计算
7.5 定积分中值定理
7.5.1 定积分第一中值定理
7.5.2 定积分第二中值定理
7.6 定积分在几何学中的应用
7.6.1 直角坐标系下平面图形的面积
7.6.2 参数方程表示的曲线所围平面图形的面积
7.6.3 微元法
7.6.4 极坐标方程表示的曲线所围平面图形的面积
7.6.5 平行截面面积为已知的立体的体积
7.6.6 曲线的弧长
7.6.7 旋转体的侧面积
7.7 定积分在物理学中的应用
习题七
第八章 广义积分
8.1 无穷积分的基本概念与性质
8.2 无穷积分敛散性的判别法
8.3 瑕积分
8.3.1 瑕积分的概念
8.3.2 瑕积分敛散性的判别法
习题八
第九章 数项级数
9.1 数项级数的基本概念
9.1.1 数项级数的基本概念
9.1.2 柯西准则
9.2 正项级数
9.2.1 比较判别法
9.2.2 达朗贝尔判别法与柯西判别法
9.2.3 拉贝判别法
9.2.4 柯西积分判别法
9.3 任意项级数
9.3.1 交错级数的敛散性
9.3.2 狄利克雷判别法和阿贝尔判别法
9.4 数项级数的性质
9.4.1 结合律
9.4.2 交换律
9.4.3 级数的乘法（分配律）
9.5 无穷乘积
习题九
第十章 函数序列与函数项级数
10.1 函数序列与函数项级数的基本问题
10.2 一致收敛的概念
10.3 函数序列与函数项级数一致收敛的判别法
10.3.1 柯西准则
10.3.2 一致收敛的判别法
10.4 一致收敛的函数序列和函数项级数
10.4.1 极限函数的连续性
10.4.2 极限函数的积分
10.4.3 极限函数的导数
习题十
第十一章 幂级数
11.1 幂级数的收敛半径与收敛域
11.1.1 幂级数的收敛半径与收敛域
11.1.2 收敛半径的求法
11.2 幂级数的性质
11.3 初等函数的幂级数展开
11.3.1 泰勒级数
11.3.2 初等函数的泰勒展式
11.4 连续函数的多项式逼近
习题十一
第十二章 傅里叶级数
12.1 函数的傅里叶级数
12.1.1 基本三角函数系
12.1.2 周期为2π的函数的傅里叶级数
12.1.3 正弦级数与余弦级数
12.1.4 周期为2T的函数的傅里叶级数
12.2 傅里叶级数的敛散性
12.2.1 狄利克雷积分
12.2.2 傅里叶级数的收敛判别法
12.3 傅里叶级数的其他收敛性
12.3.1 连续函数的三角多项式一致逼近
12.3.2 傅里叶级数的均方收敛
12.3.3 傅里叶级数的一致收敛性
习题十二
部分习题答案与提示
名词索引
第十三章多元函数的极限和连续................................. 1§13.1欧氏空间Rn ............................................ 1
13.1.1欧氏空间Rn ......................................... 1
13.1.2 点列极限............................................ 5
13.1.3 聚点.................................................8
13.1.4 开集与闭集.......................................... 9
13.1.5欧氏空间Rn 中的基本定理...........................13
§
13.2 多元函数与向量函数的极限............................17
13.2.1 多元函数的概念..................................... 17
13.2.2 多元函数的极限..................................... 19
13.2.3 累次极限........................................... 22
13.2.4 向量函数的定义与极限...............................24
§
13.3 多元连续函数.......................................... 26
13.3.1 多元连续函数....................................... 26
13.3.2 多元连续向量函数................................... 27
13.3.3 集合的连通性....................................... 29
13.3.4 连续函数的性质..................................... 30
13.3.5 同胚映射........................................... 33
习题十三...................................................... 34
第十四章多元微分学............................................ 40
§14.1 偏导数与全微分........................................40
14.1.1 偏导数............................................. 40
14.1.2 方向导数........................................... 43
14.1.3 全微分............................................. 45
14.1.4 梯度............................................... 50
14.1.5 向量函数的导数与全微分.............................53
§14.2 多元函数求导法........................................57
14.2.1 导数的四则运算..................................... 57
14.2.2 复合函数的求导法................................... 58
14.2.3 高阶偏导数......................................... 68
14.2.4 复合函数的高阶偏导数...............................70
14.2.5 一阶微分的形式不变性与高阶微分.................... 72
§14.3 泰勒公式...............................................74
§14.4 隐函数存在定理........................................79
14.4.1 单个方程的情形..................................... 79
14.4.2 方程组的情形....................................... 86
14.4.3 逆映射存在定理..................................... 92
§14.5 多元函数的极值........................................95
14.5.1 通常极值问题....................................... 95
14.5.2 条件极值问题...................................... 101
§14.6 多元微分学的几何应用............................... 109
14.6.1 空间曲线的切线与法平面........................... 109
14.6.2 曲面的切平面与法线................................112
14.6.3 多元凸函数........................................ 117
习题十四..................................................... 120
第十五章重积分................................................ 131
§15.1 重积分的定义......................................... 131
15.1.1 Rn 空间中集合的体积.............................. 132
15.1.2 重积分的定义...................................... 136
§15.2 多元函数的可积性理论与重积分的性质...............138
15.2.1 达布理论.......................................... 138
15.2.2 重积分的性质...................................... 144
§15.3 化重积分为累次积分..................................145
15.3.1 化二重积分为累次积分..............................145
15.3.2 化三重积分为累次积分..............................152
§15.4 重积分的变量替换.................................... 156
15.4.1 重积分的变量替换公式..............................156
15.4.2 利用变量替换计算重积分........................... 163
§15.5 广义重积分........................................... 168
15.5.1 无穷重积分的基本概念..............................169
15.5.2 无穷重积分敛散性的判定........................... 171
15.5.3 瑕重积分.......................................... 178
习题十五..................................................... 182
第十六章曲线积分与曲面积分..................................188
§16.1 第一型曲线积分...................................... 188
16.1.1 第一型曲线积分的定义..............................188
16.1.2 第一型曲线积分的存在性与计算公式................. 191
§16.2 第二型曲线积分...................................... 195
16.2.1 第二型曲线积分的定义..............................195
16.2.2 第二型曲线积分的存在性与计算公式................. 198
§16.3 第一型曲面积分...................................... 202
16.3.1 曲面的面积........................................ 202
16.3.2 第一型曲面积分的定义..............................205
16.3.3 第一型曲面积分的存在性与计算公式................. 207
§16.4 第二型曲面积分...................................... 210
16.4.1 曲面的侧.......................................... 210
16.4.2 第二型曲面积分的定义..............................212
16.4.3 第二型曲面积分的存在性与计算公式................. 215
§16.5 各类积分之间的联系..................................219
16.5.1 格林公式.......................................... 219
16.5.2 高斯公式.......................................... 227
16.5.3 斯托克斯公式...................................... 231
§16.6 微分形式简介......................................... 235
16.6.1 微分形式.......................................... 235
16.6.2 微分形式的外积.................................... 237
16.6.3 外微分............................................ 242
§16.7 曲线积分与路径的无关性............................. 244
§16.8 场论简介..............................................254
16.8.1 数量场的梯度...................................... 255
16.8.2 向量场的向量线.................................... 256
16.8.3 向量场的散度...................................... 257
16.8.4 向量场的旋度...................................... 258
16.8.5 一些重要算子...................................... 259
习题十六..................................................... 261
第十七章含参变量积分......................................... 271
§17.1 含参变量定积分...................................... 271
§17.2 含参变量广义积分.................................... 276
17.2.1 含参变量无穷积分.................................. 277
17.2.2 含参变量无穷积分的性质........................... 283
17.2.3 含参变量瑕积分.................................... 288
§17.3 Γ 函数与B 函数...................................... 290
17.3.1 Γ 函数............................................ 290
17.3.2 B 函数............................................ 293
17.3.3Γ函数与B函数的关系............................. 294
习题十七..................................................... 298
部分习题答案与提示.............................................. 303
名词索引..........................................................320
前言/序言
自1995年以来，在姜伯驹院士的主持下，北京大学数学科学学院根据国际数学发展的要求和北京大学数学教育的实际，创造性地贯彻教育部“加强基础，淡化专业，因材施教，分流培养”的办学方针，全面发挥我院学科门类齐全和师资力量雄厚的综合优势，在培养模式的转变、教学计划的修订、教学内容与方法的革新，以及教材建设等方面进行了全方位、大力度的改革，取得了显著的成效。2001年，北京大学数学科学学院的这项改革成果荣获全国教学成果特等奖，在国内外产生很大反响。
在本科教育改革方面，我们按照加强基础、淡化专业的要求，对教学各主要环节进行了调整，使数学科学学院的全体学生在数学分析、高等代数、几何学、计算机等主干基础课程上，接受学时充分、强度足够的严格训练；在对学生分流培养阶段，我们在课程内容上坚决贯彻“少而精”的原则，大力压缩后续课程中多年逐步形成的过窄、过深和过繁的教学内容，为新的培养方向、实践性教学环节，以及为培养学生的创新能力所进行的基础科研训练争取到了必要的学时和空间。这样既使学生打下宽广、坚实的基础，又充分照顾到每个人的不同特长、爱好和发展取向，与上述改革相适应，积极而慎重地进行教学计划的修订，适当压缩常微、复变、偏微、实变、微分几何、抽象代数、泛函分析等后续课程的周学时，并增加了数学模型和计算机的相关课程，使学生有更大的选课余地。
在研究生教育中，在注重专题课程的同时，我们制定了30多门研究生普选基础课程（其中数学系18门），重点拓宽学生的专业基础和加强学生对数学整体发展及最新进展的了解。
教材建设是教学成果的一个重要体现，与修订的教学计划相配合，我们进行了有组织的教材建设。计划自1999年起用8年的时间修订、编写和出版40余种教材。这就是将陆续呈现在大家面前的《北京大学数学教学系列丛书》，这套丛书凝聚了我们近十年在人才培养方面的思考，记录了我们教学实践的足迹，体现了我们教学改革的成果，反映了我们对新世纪人才培养的理念，代表了我们新时期的数学教学水平。
经过20世纪的空前发展，数学的基本理论更加深入和完善，而计算机技术的发展使得数学的应用更加直接和广泛，而且活跃于生产第一线，促进着技术和经济的发展，所有这些都正在改变着人们对数学的传统认识，同时也促使数学研究的方式发生巨大变化，作为整个科学技术基础的数学，正突破传统的范围而向人类一切知识领域渗透。作为一种文化，数学科学已成为推动人类文明进化、知识创新的重要因素，将更深刻地改变着客观现实的面貌和人们对世界的认识。数学素质已成为今天培养高层次创新人才的重要基础。数学的理论和应用的巨大发展必然引起数学教育的深刻变革，我们现在的改革还是初步的，教学改革无禁区，但要十分稳重和积极；人才培养无止境，既要遵循基本规律，更要不断创新，我们现在推出这套丛书，目的是向大家学习。让我们大家携起手来，为提高中国数学教育水平和建设世界一流数学强国而共同努力。