《数学教学：以知启智》（姜荣富）-图书推荐
编辑推荐语
不能彰显数学本质的教学是没有灵魂的，而没有灵魂的教学，即使设计再精妙、课件再绚丽，也是脱离数学教学本源的。 本书牢牢抓住数学本质这一核心，深究每一个教学内容背后的数学本质，思考如何从数学本质出发来展开教学以促进学生数学素养的养成。抓住了数学本质，就抓住了知识内容的核，辅之以恰当的教学设计，达到鞭辟入里、入木三分的教学效果。 从数学本质到教学实施，本书为广大小学数学教师指出了一条脚踏实地的教学研究之路。
内容提要
数学教育的最终目标是什么？什么样的数学知识更有价值？对这两个问题的思考与实践，构成了本书的主题：数学教学，以知启智。 知识是什么？智慧又是什么？即使抛开这两个难以清晰界定的概念，也不难理解它们之间的逻辑关系，即知识不等于智慧，但知识蕴含着智慧。数学教学要以知启智，把知识转化为智慧。 本书收录的50篇文章是相互独立的，虽然没有连贯的逻辑线索，但它们都聚焦于两个共同的问题：一是教学如何突出数学本质，让学生学到更有价值的数学知识；二是教师如何设计有效教学，使学生真正理解所学的数学知识。
作者简介
姜荣富 江省新思维教育科学研究院副院长，浙教版小学《数学》（也称新思维小学数学）教材编委。中学高级教师，杭州市学科带头人。在《人民教育》《小学数学教师》《小学教学（数学版）》等杂志上发表文章80余篇。
目录
目 录
**章 重蹈关键的步骤
**节 重蹈人类思维发展的关键步子
———数概念的教学法加工与方法论重建／３
第二节 定义确定法则 转化产生价值
———为什么把除法转化为乘法／１１
第三节 理通则法明
———分数除法算理理解的教学路径／１７
第四节 聚散离合 逐级抽象
———比的意义理解与概念教学／２４
第五节 经历计数单位的再创造过程
———小数意义的教学与思考／３３
第六节 学习像数学家那样思考
———理解定义背后的规定与意义／３８
第七节 注重概念教学的数学化
———以认识二分之一为例／４６
第八节 探索数学知识深处的联系
———用统计方法估计不规则图形的面积／５１
第九节 从“双基”到“四基”的教学转向
———对平面图形面积计算公式教学的思考／６１
第二章 突出数学的本质
**节 大道至简 以简驭繁
———加法的本质是数数／７５
第二节 追问知识意义与核心价值
———对运算律理解的维度／８１
第三节 规定 规律 规则
———运算法则设计与结果存在**／８６
第四节 关注规定背后的数学意义
———带余除法的理解与教学／９３
第五节 理解概念的关系 把握真实的意义
———带余除法学习难点的突破／９９
第六节 概念的存在性与**性
———三角形的定义与几何性质／１０８
第七节 “感”得充分才能“悟”得深刻
———在画圆的活动中认识圆的特征／１１５
第八节 从概念的本质出发设计概念教学
———以认识方程的教学为例／１２４
第九节 重视度量属性 突出分类思想
———“相交与平行”的理解与教学／１２９
第三章 展开思维的过程
**节 数学概念学习：是逻辑的过程还是概括的过程
———以“三角形的认识”为例／１３９
第二节 经历抽象与概括的思维过程
———促进数概念理解的教学途径／１４４
第三节 突出认知参与 强调反复体验
———对有效数学活动的思考／１５１
第四节 概括特征 厘清关系
———“长方形的认识”教学案例解读与重构／１５６
第五节 继承传统：创新教学的源头活水
———以“圆的认识”为例／１６２
第六节 从操作实验到关系推理
———认识长方体特征的教学路径／１６７第七节 创设联系而有变化的数学问题情境
———“积相等”的学习序列／１７３
第八节 让数学知识在沟通联系中增添活力
———“篮球场上的数学问题”单元复习的教学尝试／１８２
第九节 构建以意义理解为核心的数量关系分析框架
———分数意义及其应用问题教学／１８９
第四章 设计开放的任务
**节 为未知而教 为未来而学
———促进学习的深层次和思维的高层次／１９９
第二节 系统设计 化难为易
———基于学生解决图形推算问题的比较研究／２０５
第三节 为学生提供合适的学习材料
———把１拆分成单位分数之和的实验研究／２１０
第四节 数学教学应当重视学习策略的指导
———“方格连数”解题策略调查引发的思考／２１７
第五节 教学应当重视帮助学生提炼自己的理解
———一次调查实验引发的思考／２２５
第六节 应当允许学生构建起对知识的不同理解
———由要不要让学生写乘法算式引发的思考／２３０
第七节 图形直观条件下的数学问题解决
———对一道题解答的比较研究／２３４
第八节 以问题为导向的教学设计
———三角形面积计算练习课的教学／２４１
第五章 选择合适的学材
**节 知识的联系对学习的支持
———对运算律教材的比较／２５１
第二节 根据知识的特点设计教学
———对运算律教学的建议／２５６
第三节 对教学传统的理解和**
———以认识厘米为例／２６１第四节 透过现象看到本质
———“认识圆柱与圆锥”的教材设计与比较／２６６
第五节 方程是好的数学
———“代数式与方程”教材解析与教学设计／２７３
第六节 不同学习阶段的差异化练习
———除数是两位数的除法试商训练与掌握／２８０
第七节 静态学习材料的动态化设计
———呈现形式影响学生参与／２８５
第八节 扩展课程内容 加强形数结合
———新思维数学几何知识编排特点／２９０
第九节 从“学会”到“会学”
———数学课程改革的微观比较与分析／２９７
第六章 漫笔
教学是对话／３０７
重视基本概念的引入／３０９
奔向远方的力量／３１１
有效教研：对话教学中的问题／３１３
小测量 大智慧
———“长度测量”校本教研活动方案／３１９
返璞归真 平易近人
———读张奠宙教授的文章有感／３２４
向生命中的平凡举杯／３３０
附录１ 本书主要参考文献一览／３３４
附录２ 发表文章一览表／３３９
结语／３４５
精彩试读
数学是人类智慧的结晶，是数学家光辉思想的创造。在一定意义上，学生的数学学习实际上是在学校教育条件下，重新发现和认识人类数学知识的过程。*好的教学方法是什么？弗赖登塔尔（Ｈ．Ｆｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ）指出，学生学习**正确的方法是“再创造”，也就是由学生本人把要学习的东西自己发现或创造出来，教师的作用在于引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。
概念是数学的基石。一些重要数学概念的教学，要通过揭示数学家提出数学问题、发现数学结论的思维过程，让学生体会数学概念、数学方法以及数学思想的起源与发展，学习在困境中解决问题的方法与发明创造的智慧，培养学生的创新意识和创新能力。
什么是数学方法的精髓？首先是基本概念的引入。本质上，任何一个定理都是由相关定义产生的结果。为什么要有倒数的概念？为什么要把除法转化为乘法？定义确定法则，从除法的定义出发，利用倒数定义的关系，遵循除法运算性质，可以推导出分数除法的运算法则。理想的计算教学是在理解算理的基础上掌握算法。理通则法明，数学的智慧潜藏在概念与算法、算理与算法的联系之中。
数学概念是如何得到的？数学概念的形成过程是一个抽象与概括的过程。概念教学不仅要关注学生获得概念的结果，也要重视学生获得概念的思维过程。比表示两个数量之间的关系，是一个抽象的概念。如何抽象与概括比的概念？教学可以设计“聚散离合”的四个思维层次，引导学生在逐级抽象中建构意义，达到深层理解的目的。小数与整数有什么联系？小数是整数十进制计数向相反方向延伸的结果。理解数概念的全部基础都扎根在计数单位上，教学要让学生经历计数单位再创造的过程。三角形的高是如何定义的？为什么要这样定义？让学生参与定义的思考过程，理解定义背后的规则与意义，与其说是深入理解概念的意义，体会定义概念的严密性，不如说是学习像数学家那样思考，学习数学的精神、思想与方法。
数学是一个整体，数学的各个领域从来就是不分割的，我们要以整体的眼光看待数学的各个分支，这样才能*好地理解数学的起源、发展和未来。如何估计不规则图形的面积？用不同的概念、方法和技巧估计曲线所围图形的面积，是以一种深刻的方式来理解数学知识相互交叉与融汇，探索数学知识深处的联系，从惊讶到思考，真正体会到“数学好玩”。
创新的基础是什么？是基础知识，思维经验与思想方法。实现从“双基”到“四基”的教学转向面临着许多新的挑战，如科学地设计学习序列，有效地积累思维经验，合理地渗透思想方法，等等，教学应当注意避免数学活动经验的断层与数学思想方法渗透的冒进。只有当学习者根据自己的经验与外界交互，并积极建构意义的时候，深层理解才会发生。让学生经历数学概念抽象概括的思维过程，引导学生在知识的深处发现本质的联系，都是重蹈数学家的思维过程和人类思维发展的关键步骤。重蹈这些过程和步骤，既是提升意义理解的教学手段，也是教学实现以知启智的重要路径。